Trigonometria Esempi

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ come un'equazione.

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 e^{y - 2} + 4 = x$ .

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{y - 2} = x - 4$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y - 2} = x - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y - 2} = x - 4$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $e^{y - 2}$ per $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

Passaggio 3.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Espandi $\ln (e^{y - 2})$ spostando $y - 2$ fuori dal logaritmo.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $y - 2$ per $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2 e^{x - 2} + 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.1.4.4

Dividi $e^{x - 2} + 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

Passaggio 5.2.3.2

Combina i termini opposti in $e^{x - 2} + 2 - 2$ .

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Passaggio 5.2.3.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $e^{x - 2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Passaggio 5.2.3.3

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x - 2$ dall'esponente.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Passaggio 5.2.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (\frac{x}{2} - 2)$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Passaggio 5.3.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

Passaggio 5.3.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 4 + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$