Trigonometria Esempi

$y = \log_{4} (4 x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{4} (4 y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{4} (4 y) = x$ .

$\log_{4} (4 y) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{4} (4 y) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 4 y$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 y = 4^{x}$ .

$4 y = 4^{x}$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 4^{x}$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 4^{x}$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4^{x}}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4^{x}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $4^{x}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4}$

Passaggio 2.3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 (1)}$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4^{x - 1}}{1}$

Passaggio 2.3.2.3.1.2.4

Dividi $4^{x - 1}$ per $1$ .

$y = 4^{x - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{4} (4 x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{(\log_{4} (4 x)) - 1}$

Passaggio 4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{\log_{4} (4 x) - 1}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (4^{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4 (4^{x - 1}))$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $\log_{4} (4 (4^{x - 1}))$ come $\log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$

Passaggio 4.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 1$ dall'esponente.

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \log_{4} (4)$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo in base $4$ di $4$ è $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + x - 1$

Passaggio 4.3.7

Il logaritmo in base $4$ di $4$ è $1$ .

$f (4^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Passaggio 4.3.8

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

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Passaggio 4.3.8.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.3.8.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$