Trigonometria Esempi

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ .

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 2.3.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ per $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 = x y - x - (y - 1)$

Passaggio 2.4.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 = x y - x - y - - 1$

Passaggio 2.4.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $x y - x - y + 1 = 2$ .

$x y - x - y + 1 = 2$

Passaggio 2.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y - y + 1 = 2 + x$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y - y = 2 + x - 1$

Passaggio 2.5.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$x y - y = x + 1$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $y$ da $x y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x - y = x + 1$

Passaggio 2.5.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x + 1$

Passaggio 2.5.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = x + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

Passaggio 4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6.4

Somma $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.6.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

Passaggio 4.2.7.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

Passaggio 4.2.7.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Passaggio 4.2.7.7

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Passaggio 4.2.7.8

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Passaggio 4.2.7.9

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.2

$- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.4

Riscrivi $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.4.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Passaggio 4.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Passaggio 4.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$