Trigonometria Esempi

$y = {(x - 1)}^{3} + 1$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(y - 1)}^{3} + 1$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(y - 1)}^{3} + 1 = x$ .

${(y - 1)}^{3} + 1 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(y - 1)}^{3} = x - 1$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 1 = \sqrt[3]{x - 1}$

Passaggio 2.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt[3]{x - 1} + 1$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{({(x - 1)}^{3} + 1) - 1} + 1$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $\sqrt[3]{({(x - 1)}^{3} + 1) - 1} + 1$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3} + 0} + 1$

Passaggio 4.2.3.2

Somma ${(x - 1)}^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Passaggio 4.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.2.5

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x + 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\sqrt[3]{x - 1} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {((\sqrt[3]{x - 1} + 1) - 1)}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in ${((\sqrt[3]{x - 1} + 1) - 1)}^{3} + 1$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(\sqrt[3]{x - 1} + 0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\sqrt[3]{x - 1}$ e $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{x - 1}}^{3}$ come $x - 1$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1$

Passaggio 4.3.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1$

Passaggio 4.3.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1$

Passaggio 4.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = (x - 1) + 1$

Passaggio 4.3.4.5

Semplifica.

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.3.5

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 4.3.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x + 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$