Trigonometria Esempi

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3^{y}} = x$ .

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $3^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'equazione come $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$x \cdot 3^{y} = 1$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \cdot 3^{y} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $3^{y}$ per $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 2.4.4

Espandi $\ln (3^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 2.4.5

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 2.4.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $3^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.4

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Passaggio 4.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$