Trigonometria Esempi

$x = y^{2} - 2 y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Passaggio 2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Passaggio 3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4$ da $4 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $4 (1 + x)$ come $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $4$ da $4 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $4 (1 + x)$ come $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Passaggio 6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $4$ da $4 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $4 (1 + x)$ come $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Passaggio 7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Passaggio 9

Scambia le variabili. Crea un'equazione per ogni espressione.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Passaggio 10.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + y}$ come ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Semplifica.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 10.4.3.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 10.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 10.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 10.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 10.4.3.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Passaggio 11

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Passaggio 12

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ e confrontali.

Passaggio 12.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Trova l'intervallo di $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[1, \infty)$

Passaggio 12.2.2

Trova l'intervallo di $1 - \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1]$

Passaggio 12.2.3

Trova l'unione di $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 12.3

Trova il dominio di $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + x \geq 0$

Passaggio 12.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 12.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 12.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è l'intervallo di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è il dominio di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Passaggio 13