Trigonometria Esempi

$y = 2 \ln (x - 5)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2 \ln (y - 5)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 \ln (y - 5) = x$ .

$2 \ln (y - 5) = x$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (y - 5) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (y - 5) = x$ .

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\ln (y - 5)$ per $1$ .

$\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = y - 5$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ è l'inverso di $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 \ln (x - 5))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Passaggio 4.2.3.1.2

Dividi $\ln (x - 5)$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Passaggio 4.2.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (e^{\frac{x}{2}} + 5)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln ((e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5)$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $e^{\frac{x}{2}}$ e $0$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 4.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{2}$ dall'esponente.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ è l'inverso di $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$