Trigonometria Esempi

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \arctan (y) = x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \arctan (y) = x - 1$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ è l'inverso di $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $2 \arctan (x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $\arctan (x)$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Passaggio 4.2.6

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ è l'inverso di $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$