Trigonometria Esempi

$y = 3 + \sqrt{x - 4}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 3 + \sqrt{y - 4}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $3 + \sqrt{y - 4} = x$ .

$3 + \sqrt{y - 4} = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y - 4} = x - 3$

Passaggio 2.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y - 4}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 4}$ come ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y - 4)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Semplifica.

$y - 4 = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 4 = (x - 3) (x - 3)$

Passaggio 2.4.3.1.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y - 4 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Passaggio 2.4.3.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$y - 4 = x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 2.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 4$

Passaggio 2.5.2

Somma $9$ e $4$ .

$y = x^{2} - 6 x + 13$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ è l'inverso di $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = {(3 + \sqrt{x - 4})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi ${(3 + \sqrt{x - 4})}^{2}$ come $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = (3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.2

Espandi $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 (3 + \sqrt{x - 4}) + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x - 4}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{1 + 1} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x - 4}}^{2}$ come $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.1.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.3.3

Somma $3 \sqrt{x - 4}$ e $3 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Passaggio 4.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Passaggio 4.2.3.5

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Passaggio 4.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Combina i termini opposti in $5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Sottrai $6 \sqrt{x - 4}$ da $6 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 0 + 13$

Passaggio 4.2.4.1.2

Somma $5 + x - 18$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 13$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $18$ da $5$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x - 13 + 13$

Passaggio 4.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 13 + 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Somma $- 13$ e $13$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (x^{2} - 6 x + 13)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{(x^{2} - 6 x + 13) - 4}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $4$ da $13$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + x - 3$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $3 + x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ è l'inverso di $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$