Trigonometria Esempi

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ .

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

Passaggio 2.2

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

Passaggio 2.4

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

Passaggio 2.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 2.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ è l'inverso di $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $\frac{5}{3}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$- \sin (x) \geq - 5$

Passaggio 4.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) \geq - 5$ e semplifica.

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Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) \geq - 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.3.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

Passaggio 4.3.2.4

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $5$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4.3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ non è un inverso di $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5