Trigonometria Esempi

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} - x = 42$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $42$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - x - 42 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{2} - x - 42$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 42$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 7, 6$

Passaggio 2.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 2.2.5

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 7, - 6$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni lato per $42$ .

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica $\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune di $42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica $0$ per $42$ .

$x^{2} - x > 0$

Passaggio 3.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - x = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Passaggio 3.2.3.2.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.2.3.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Passaggio 3.2.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.3.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.2.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 3.2.4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 3.2.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

Passaggio 3.2.5.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{142857}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 3.2.5.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

Passaggio 3.2.5.2.3

Il lato sinistro di $- 0.00595238$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.2.5.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

Passaggio 3.2.5.3.3

Il lato sinistro di $0.\overline{285714}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 3.2.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $x > 1$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

Passaggio 5.1.3

Il lato sinistro di $2.05664166$ è maggiore del lato destro di $1.79743914$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $1.1949875$ non è maggiore del lato destro di $1.79743914$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

Passaggio 5.3.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

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Passaggio 5.3.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.3.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $1.1949875$ non è maggiore del lato destro di $1.79743914$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

Passaggio 5.5.3

Il lato sinistro di $2.16395103$ è maggiore del lato destro di $1.79743914$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 6$ o $x > 7$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 6 or x > 7$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

Passaggio 8