Trigonometria Esempi

$(3 x - 1) (x - 1) < 7$

Passaggio 1

Semplifica $(3 x - 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 1.1

Espandi $(3 x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (x - 1) - 1 (x - 1) < 7$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (x - 1) < 7$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Passaggio 1.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 1 < 7$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - x + 1 < 7$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 < 7$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 x^{2} - 4 x + 1 - 7 < 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $7$ da $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 6 < 0$

Passaggio 3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Passaggio 4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 4$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 6)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 6$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.3

Somma $16$ e $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $88$ come $2^{2} \cdot 22$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $4$ da $88$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{3}, \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$(3 (- 3) - 1) ((- 3) - 1) < 7$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $40$ non è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(3 (0) - 1) ((0) - 1) < 7$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $1$ è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$(3 (5) - 1) ((5) - 1) < 7$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $56$ non è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falso

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Vero

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falso

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Falso

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Vero

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{2 - \sqrt{22}}{3}, \frac{2 + \sqrt{22}}{3})$

Passaggio 12