Trigonometria Esempi

$(\sin (x)) (\cos (x)) > 0$

Passaggio 1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Passaggio 2

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) \cos (x) > 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$(\sin (1)) (\cos (1)) > 0$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro di $0.45464871$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(\sin (2)) (\cos (2)) > 0$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $- 0.37840124$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $π < x < \frac{3 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(\sin (4)) (\cos (4)) > 0$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $0.49467912$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 7.4.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$(\sin (5)) (\cos (5)) > 0$

Passaggio 7.4.3

Il lato sinistro di $- 0.27201055$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vero

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vero

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ o $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Combina gli intervalli.

$2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n or π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10