Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Sottrai $2 \cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.4

Espandi $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Moltiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.2.5.1.5.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.1.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.5.3

Somma $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.8

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.2.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nel numeratore.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.9

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Semplifica $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 5.1.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $- 2$ da $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Passaggio 5.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Passaggio 7

Poiché $- 2 = - 2$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $x$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$