Trigonometria Esempi

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}$ per il coniugato di $1 - i$ per rendere il denominatore reale.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4

Moltiplica.

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Passaggio 3.4.1

Combina.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.2.3

Riordina i fattori in $2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.3.1

Espandi $(1 - i) (1 + i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 (1 + i) - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.4

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.7

Sottrai $i$ da $1 i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 0 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.2.8

Somma $1$ e $0$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - - 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ come $\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Passaggio 4

Espandi il lato destro.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$ come $\ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Passaggio 4.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Semplifica $\ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$ .

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Passaggio 6.1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$

Passaggio 6.1.2

Riordina i fattori in $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 7

Dividi per $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ ciascun termine in $x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})} = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$