Trigonometria Esempi

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $1 + \sin (x)$ è $1 + \sin (x)$ stesso.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $1 - \sin (x)$ è $1 - \sin (x)$ stesso.

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $1 + \sin (x)$ è $1 + \sin (x)$ stesso.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Passaggio 3

Moltiplica per $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ ciascun termine in $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ per $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Scomponi $1 - \sin (x)$ da $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $1 + \sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $1 + \sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

Passaggio 3.3.1.7

Scomponi $- 1$ da $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

Passaggio 3.3.1.8

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

Passaggio 3.3.1.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

Passaggio 3.3.1.10

Riordina i termini.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

Passaggio 3.3.1.11

Eleva $- \sin (x) + 1$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

Passaggio 3.3.1.12

Eleva $- \sin (x) + 1$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

Passaggio 3.3.1.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.1.14

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.1.15

Riscrivi $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ come $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $\sin (x)$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $\sin (x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $4 \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi ${(1 + \sin (x))}^{2}$ come $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.3.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.3.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.3.1.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.3.2

Somma $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ come $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.5

Espandi $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1.2.1

Sposta $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.4

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.6

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.1.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.6.2

Sottrai $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.7

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.8.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $\sin^{2} (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $1 + 2 \sin (x)$ e $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.3.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ e $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $2 \sin (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $4 \sin (x)$ da $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

Passaggio 4.3

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $x$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$