Trigonometria Esempi

${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2} = 20$

Passaggio 1

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2}$ come $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ .

${((2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $2 \cos (t) (2 \cos (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(4 \cos (t) \cos (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.1.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 {\cos (t)}^{1 + 1} + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riordina $2 \cos (t)$ e $- 4 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Aggiungi le parentesi.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.4

Riordina $\sin (t)$ e $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6

Aggiungi le parentesi.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.7

Riordina $\sin (t)$ e $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.8

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9

Moltiplica $- 4 \sin (t) (- 4 \sin (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.9.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin (t) \sin (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 {\sin (t)}^{1 + 1} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.2

Sottrai $4 \sin (2 t)$ da $- 4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi ${(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2}$ come $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.5

Espandi $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Moltiplica $4 \cos (t) (4 \cos (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos (t) \cos (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.1.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.1.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 {\cos (t)}^{1 + 1} + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Aggiungi le parentesi.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.3

Riordina $\cos (t)$ e $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.5

Riordina $2 \sin (t)$ e $4 \cos (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.6

Aggiungi le parentesi.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.7

Riordina $\cos (t)$ e $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.8

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.9

Moltiplica $2 \sin (t) (2 \sin (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.9.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (t) \sin (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.9.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.9.3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 {\sin (t)}^{1 + 1})}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $4 \sin (2 t)$ e $4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Combina i termini opposti in $4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Somma $- 8 \sin (2 t)$ e $8 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 0 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Somma $4 \cos^{2} (t)$ e $0$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $4$ da $4 \cos^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $4$ da $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $4$ da $4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t))$ .

${(4 (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.3

Rimetti in ordine i termini.

${(4 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.4

Applica l'identità pitagorica.

${(4 \cdot 1 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $16$ da $16 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $16$ da $16 \cos^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $16$ da $16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t))$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.6

Applica l'identità pitagorica.

${(4 \cdot 1 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

${(4 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

${(4 + 16)}^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Somma $4$ e $16$ .

$20^{2} = {(20)}^{2}$

Passaggio 2.7.2.2

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$400 = {(20)}^{2}$

Passaggio 3

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$400 = 400$

Passaggio 4

Poiché $400 = 400$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $t$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$