Trigonometria Esempi

$- \sin (4 x) > 0$

Passaggio 1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (4 x) > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (4 x) > 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- \sin (4 x)}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (4 x)}{1} < \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\sin (4 x)$ per $1$ .

$\sin (4 x) < \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\sin (4 x) < 0$

Passaggio 2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x < \arcsin (0)$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$4 x < 0$

Passaggio 4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < 0$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x < 0$

Passaggio 5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x = π - 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 x = π + 0$

Passaggio 6.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$4 x = π$

Passaggio 6.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\sin (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sin (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.39$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $0.39$ nella diseguaglianza originale.

$- \sin (4 (0.39)) > 0$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.99994172$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$- \sin (4 (1)) > 0$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $0.75680249$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vero

$0 < x < \frac{π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} < x < \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13