Trigonometria Esempi

$\tan (22.5 °)$

Passaggio 1

Riscrivi $22.5 °$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\tan (\frac{45}{2})$

Passaggio 2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$

Passaggio 3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché la tangente è positiva nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$

Passaggio 4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Passaggio 4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.8.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Passaggio 4.11

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 4.12

Semplifica.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.13

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.14.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.14.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.15

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.16

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.16.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 4.16.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Passaggio 4.16.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Passaggio 4.16.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Passaggio 4.16.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.16.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.16.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.16.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.16.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Passaggio 4.16.4

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} - 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.16.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Passaggio 4.16.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Passaggio 4.16.4.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Passaggio 4.16.4.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.16.4.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Passaggio 4.16.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 4.16.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Passaggio 4.16.4.4.4

Dividi $\sqrt{2} - 1$ per $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Passaggio 4.16.5

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Passaggio 4.16.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Passaggio 4.17

Somma $2$ e $1$ .

$\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Passaggio 4.18

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$0.41421356 \dots$