Trigonometria Esempi

$\log (a) + \log (a + 21) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (a (a + 21)) = 2$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (a \cdot a + a \cdot 21) = 2$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\log (a^{2} + a \cdot 21) = 2$

Passaggio 1.3.2

Sposta $21$ alla sinistra di $a$ .

$\log (a^{2} + 21 a) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (a^{2} + 21 a) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = a^{2} + 21 a$

Passaggio 3

Risolvi per $a$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $a^{2} + 21 a = 10^{2}$ .

$a^{2} + 21 a = 10^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$a^{2} + 21 a = 100$

Passaggio 3.3

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} + 21 a - 100 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $a^{2} + 21 a - 100$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 100$ e la cui somma è $21$ .

$- 4, 25$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(a - 4) (a + 25) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$a - 4 = 0$

$a + 25 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $a - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $a - 4$ uguale a $0$ .

$a - 4 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a = 4$

Passaggio 3.7

Imposta $a + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $a + 25$ uguale a $0$ .

$a + 25 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - 25$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(a - 4) (a + 25) = 0$ vera.

$a = 4, - 25$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (a) + \log (a + 21) = 2$ vera.

$a = 4$