Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

Passaggio 1

Sostituisci $u$ a $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

Passaggio 2

Sottrai $4 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

Passaggio 3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $8$ da $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $\sin (x)$ a $u$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 9.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.29725136$

Passaggio 10.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Passaggio 10.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

Passaggio 10.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Passaggio 10.4.3

Sottrai $0.29725136$ da $3.14159265$ .

$x = 2.84434129$

Passaggio 10.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$