Trigonometria Esempi

$- 110 \cos (x) = 40 \cos^{2} (x) + 60$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $40 \cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) = 60$

Passaggio 1.2

Sottrai $60$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Passaggio 2

Fattorizza $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $10$ da $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $10$ da $- 110 \cos (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $10$ da $- 40 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) - 60 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $10$ da $- 60$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $10$ da $10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $10$ da $10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6)$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 6) = 0$

Passaggio 2.2

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$10 (- 11 u - 4 u^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.3.1

Riordina i termini.

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Passaggio 2.3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot - 6 = 24$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 u$ .

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi $- 11$ come $- 3$ più $- 8$ .

$10 (- 4 u^{2} + (- 3 - 8) u - 6) = 0$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- 4 u^{2} - 3 u - 8 u - 6) = 0$

Passaggio 2.3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$10 ((- 4 u^{2} - 3 u) - 8 u - 6) = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$10 (u (- 4 u - 3) + 2 (- 4 u - 3)) = 0$

Passaggio 2.3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 4 u - 3$ .

$10 ((- 4 u - 3) (u + 2)) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$10 ((- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta $- 4 \cos (x) - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $- 4 \cos (x) - 3$ uguale a $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $- 4 \cos (x) - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos (x) = 3$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 3$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 3$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Calcola $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Passaggio 4.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Passaggio 4.2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Passaggio 4.2.6.2.2

Sottrai $2.4188584$ da $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x) + 2$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 2$

Passaggio 5.2.2

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- 2$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$ vera.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$