Trigonometria Esempi

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1

Sottrai ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ come $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ((\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ({\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.4

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.6.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (x) (2 \cos (x))) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (2 x)) = 0$

Passaggio 2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $\sin (2 x)$ da $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) + 0 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $\cos (2 x)$ e $0$ .

$\cos (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = - 1$

Passaggio 4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 1 + 1$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Somma $- 2 \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$0 = - 1 + 1$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$0 = 0$

Passaggio 7

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $x$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$