Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π \cdot 3 - π$

Passaggio 5.2.2.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = 6 π - π$

Passaggio 5.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = 5 π$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{3})$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{3})$ è $6 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $6 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , per qualsiasi intero $n$