Trigonometria Esempi

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 1.1.1.1

Riordina $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\cos (x) \tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1.1.1.3

Elimina i fattori comuni.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 5.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 9

Semplifica $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

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Passaggio 9.1

Sposta $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.2

Riordina $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.4

Scomponi $- 1$ da $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.6

Riscrivi $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ come $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 9.7

Applica l'identità pitagorica.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 10.1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$- u^{2} + u = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $u$ da $- u^{2} + u$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Passaggio 10.1.2.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Passaggio 10.1.2.3

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Passaggio 10.1.2.4

Scomponi $u$ da $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Passaggio 10.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 10.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 10.3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 10.3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 10.3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 10.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 10.3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.4

Imposta $- \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Imposta $- \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 10.4.2

Risolvi $- \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = - 1$

Passaggio 10.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.4.2.2.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Passaggio 10.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 10.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10.4.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 10.4.2.6

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 10.4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Consolida le risposte.

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Passaggio 11.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11.2

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Escludi le soluzioni che non rendono $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ vera.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , per qualsiasi intero $n$