Trigonometria Esempi

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Passaggio 1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Passaggio 2

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Passaggio 3

Combina i termini opposti in $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

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Passaggio 3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Passaggio 3.2

Somma $\csc^{2} (x)$ e $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ a $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} = u$

Passaggio 5

Sottrai $u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - u = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u$ da $u^{2} - u$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 9

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (u - 1) = 0$ vera.

$u = 0, 1$

Passaggio 11

Sostituisci $\csc (x)$ a $u$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = 0$ .

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Passaggio 13.1

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = 1$ .

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Passaggio 14.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arccsc (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 14.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 14.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 14.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 14.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$