Trigonometria Esempi

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\cot (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cot (x)$ e $b = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Passaggio 2.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 2.1.3

$2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.5

Espandi $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.6.1.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.5

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.6.3

Somma $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ e $0$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.7.2

Combina.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.7.3

Riscrivi $- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ come $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 2.1.8.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Passaggio 6

$\sin (2 x)$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Passaggio 7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.4

$\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.5.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.5.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Passaggio 8.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.7.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 9

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Passaggio 10

Sposta tutti i termini contenenti $\cos (2 x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $\cos (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $\cos (2 x)$ da $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Passaggio 11

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $x$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$