Trigonometria Esempi

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ come un'equazione.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $20 e^{y} + 15$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $20 e^{y} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (20 e^{y} + 15)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Sposta $15$ alla sinistra di $x$ .

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $20 x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

Passaggio 3.4.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $e^{y}$ da $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $e^{y}$ da $3 e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $e^{y}$ da $- 20 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ .

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $3 - 20 x$ ciascun termine in $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $3 - 20 x$ ciascun termine in $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ .

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 - 20 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

Passaggio 3.4.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Passaggio 3.4.6

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Passaggio 3.4.6.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Passaggio 3.4.6.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Passaggio 5.2.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $5$ da $20 e^{x} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Passaggio 5.2.3.1.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Passaggio 5.2.3.1.3

Scomponi $5$ da $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $5$ da $20 e^{x} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Scomponi $5$ da $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.2

$3$ e $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.5

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6

Riscrivi $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.3

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.6

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.7

Somma $32 e^{x}$ e $9 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.8

Sottrai $24$ da $24$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.4.6.9

Somma $41 e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Scomponi $5$ da $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Passaggio 5.2.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Passaggio 5.2.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.2

$- 4$ e $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.4

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6

Riscrivi $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.5

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.6

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.7

Sottrai $12 e^{x}$ da $12 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.8

Somma $0$ e $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.5.6.9

Somma $9$ e $32$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $41$ da $41 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Passaggio 5.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $4 e^{x} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.9

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.10

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.2

$3$ e $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.3

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.4

$- 8$ e $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.6

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7

Riscrivi $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Moltiplica $15$ per $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.5

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.6

Moltiplica $- 20$ per $- 8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.7

Somma $45 x$ e $160 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.8

Sottrai $24$ da $24$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.3.7.9

Somma $205 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $5$ da $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Scomponi $5$ da $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

Passaggio 5.3.4.1.3

Scomponi $5$ da $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

Passaggio 5.3.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

Passaggio 5.3.4.3

$4$ e $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

Passaggio 5.3.4.4

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Passaggio 5.3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Passaggio 5.3.4.6

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7

Riscrivi $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.2

Moltiplica $15$ per $4$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.6

Moltiplica $- 20$ per $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.7

Sottrai $60 x$ da $60 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.8

Somma $0$ e $32$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.4.7.9

Somma $32$ e $9$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

Passaggio 5.3.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

$5$ e $\frac{41}{- 20 x + 3}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $5$ per $41$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $205$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $205$ da $205 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

Passaggio 5.3.8

Moltiplica $\frac{x}{- 20 x + 3}$ per $- 20 x + 3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $- 20 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Passaggio 5.3.9.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$