Trigonometria Esempi

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Passaggio 2.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Imposta $3 \cot^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $3 \cot^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cot^{2} (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cot^{2} (x) = 1$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\cot^{2} (x)$ per $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.7

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 3.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.1

Il valore esatto di $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.4

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 3.2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 3.2.7.4.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 3.2.7.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.7.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.7.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.8

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 3.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 3.2.8.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.8.2.1

Il valore esatto di $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Passaggio 3.2.8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.2.8.4.1

Somma $2 π$ a $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Passaggio 3.2.8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{3}$ è positivo e coterminale con $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 3.2.8.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.8.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.8.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.10

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Combina $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.10.2

Combina $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{5 π}{3} + π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$