Trigonometria Esempi

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Se $a = b$ , allora $\cos (a) = \cos (b)$ .

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.4.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.5

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.8

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (2 x))$ è $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

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Passaggio 3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 4.1

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ vera.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$x = 0.5$