Trigonometria Esempi

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

Passaggio 1

Sottrai $\sin (4 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Passaggio 2.1.4

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Passaggio 2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.11

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.12

Rimuovi le parentesi.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4 \sin (x) \cos (x)$ da $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Imposta $1 + 2 \sin^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $1 + 2 \sin^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (x) = - 1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 7.2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.2.4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.7.2

L'inverso del seno di $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ è indefinito.

Indefinito

Passaggio 7.2.8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.8.2

L'inverso del seno di $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ è indefinito.

Indefinito

Passaggio 7.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$