Trigonometria Esempi

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.1.5.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{\cos (x)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.5.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.3.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.5.3.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Passaggio 1.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Passaggio 2

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Passaggio 3.2

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

Passaggio 3.3

Risolvi $\tan (x) = \tan (x)$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Perché le due funzioni siano uguali, gli argomenti di ciascuna devono essere uguali.

$x = x$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$0 = 0$

Passaggio 3.3.3

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3.4

Risolvi $\tan (x) = - \tan (x)$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $\tan (x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.4.1.1

Somma $\tan (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Somma $\tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (x) = 0$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 3.4.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.4.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4.5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 3.4.6

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.7

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 3.4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.4.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.4.7.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.4.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$