Trigonometria Esempi

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Passaggio 1

Scomponi $3$ da $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Passaggio 1.2

Scomponi $3$ da $- 33 x^{2}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

Passaggio 1.3

Scomponi $3$ da $60 x$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

Passaggio 1.4

Scomponi $3$ da $96$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Passaggio 1.5

Scomponi $3$ da $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Passaggio 1.6

Scomponi $3$ da $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

Passaggio 1.7

Scomponi $3$ da $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $11$ da $- 1$ .

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$- 12 - 20 + 32$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $20$ da $- 12$ .

$- 32 + 32$

Passaggio 2.3.8

Somma $- 32$ e $32$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x + 32$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 12 x + 32$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ come insieme di fattori.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

Passaggio 3

Scomponi.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} - 12 x + 32$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} - 12 x + 32$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $32$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 8, - 4$

Passaggio 3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$