Trigonometria Esempi

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 1.5$ nel polinomio.

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $4$ .

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $5.0625$ .

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $3$ .

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 19$ per $- 3.375$ .

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.6

Somma $10.125$ e $64.125$ .

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.7

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $2$ .

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $33$ per $2.25$ .

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.9

Somma $74.25$ e $74.25$ .

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $59$ per $- 1.5$ .

$148.5 - 88.5 - 60$

Passaggio 1.3.11

Sottrai $88.5$ da $148.5$ .

$60 - 60$

Passaggio 1.3.12

Sottrai $60$ da $60$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ per $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 22 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $66 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $66 x^{2} + 99 x$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 40 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 40 x - 60$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ come insieme di fattori.

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 11$ per $16$ .

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $176$ da $64$ .

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $33$ per $4$ .

$- 112 + 132 - 20$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $- 112$ e $132$ .

$20 - 20$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $20$ da $20$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ per $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x^{2} + 28 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x - 20$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 7 x + 5$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ come insieme di fattori.

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$