Trigonometria Esempi

$y = 4 \sin (π x + 2) - 5$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 4$

$b = π$

$c = - 2$

$d = - 5$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $4$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $4 \sin (π x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 3.1.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.1.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 3.2.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.2.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- 2}{π}$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{2}{π}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $4$

Periodo: $2$

Sfasamento: $- \frac{2}{π}$ ( $\frac{2}{π}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- 5$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{2}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{π}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{π}$ nel numeratore.

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \sin (- 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.1.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \sin (0) - 5$

Passaggio 6.1.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- \frac{2}{π}) = 4 \cdot 0 - 5$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (- \frac{2}{π}) = 0 - 5$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (- \frac{2}{π}) = - 5$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{2} - \frac{2}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2} - \frac{2}{π}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{1}{2}) + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2} + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{π}$ nel numeratore.

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2} + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2} + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2} - 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2} + 0) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.3

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) - 5$

Passaggio 6.2.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \cdot 1 - 5$

Passaggio 6.2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = 4 - 5$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{2}{π}) = - 1$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1 - \frac{2}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1 - \frac{2}{π}$ nell'espressione.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (1 - \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π \cdot 1 + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{π}$ nel numeratore.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π - 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π + 0) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.3

Somma $π$ e $0$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (0) - 5$

Passaggio 6.3.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = 4 \cdot 0 - 5$

Passaggio 6.3.2.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = 0 - 5$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (1 - \frac{2}{π}) = - 5$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{2} - \frac{2}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2} - \frac{2}{π}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (\frac{3}{2}) + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2} + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{π}$ nel numeratore.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2} - 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.1.4

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2} - 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2} + 0) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.3

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 (- 1 \cdot 1) - 5$

Passaggio 6.4.2.1.6

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = 4 \cdot - 1 - 5$

Passaggio 6.4.2.1.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = - 4 - 5$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $5$ da $- 4$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{2}{π}) = - 9$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2 - \frac{2}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 - \frac{2}{π}$ nell'espressione.

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π (2 - \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (π \cdot 2 + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 \cdot π + π (- \frac{2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{π}$ nel numeratore.

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 \cdot π + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 \cdot π + π (\frac{- 2}{π}) + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 \cdot π - 2 + 2) - 5$

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 π - 2 + 2) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 π + 0) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.3

Somma $2 π$ e $0$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (2 π) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \sin (0) - 5$

Passaggio 6.5.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 4 \cdot 0 - 5$

Passaggio 6.5.2.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = 0 - 5$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (2 - \frac{2}{π}) = - 5$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{2}{π} & - 5 \\ \frac{1}{2} - \frac{2}{π} & - 1 \\ 1 - \frac{2}{π} & - 5 \\ \frac{3}{2} - \frac{2}{π} & - 9 \\ 2 - \frac{2}{π} & - 5 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $4$

Periodo: $2$

Sfasamento: $- \frac{2}{π}$ ( $\frac{2}{π}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- 5$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{2}{π} & - 5 \\ \frac{1}{2} - \frac{2}{π} & - 1 \\ 1 - \frac{2}{π} & - 5 \\ \frac{3}{2} - \frac{2}{π} & - 9 \\ 2 - \frac{2}{π} & - 5 \end{array}$

Passaggio 8