Trigonometria Esempi

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

$4$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Passaggio 1.4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{5}{8})$

Passaggio 1.4.3.4

Moltiplica $\frac{5}{8}$ per $1$ .

$\frac{5}{8}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, - \frac{19}{8})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 4$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{29}{8}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(4, - 3)$

Fuoco: $(4, - \frac{19}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = - \frac{29}{8}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(4, - 3)$

Fuoco: $(4, - \frac{19}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = - \frac{29}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sottrai $48$ da $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $- 30$ e $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Passaggio 2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.2.3

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sottrai $32$ da $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 24$ e $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Passaggio 2.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Passaggio 2.5.4

La risposta finale è $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Passaggio 2.8.2.3

Moltiplica $- 16$ per $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Sottrai $80$ da $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Passaggio 2.8.3.2

Somma $- 30$ e $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Passaggio 2.8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 5$ è $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Passaggio 2.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Passaggio 2.11.2.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Passaggio 2.11.2.3

Moltiplica $- 16$ per $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Passaggio 2.11.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Sottrai $96$ da $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Passaggio 2.11.3.2

Somma $- 24$ e $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Passaggio 2.11.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Passaggio 2.11.4

La risposta finale è $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 6$ è $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(4, - 3)$

Fuoco: $(4, - \frac{19}{8})$

Asse di simmetria: $x = 4$

Direttrice: $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Passaggio 4