Trigonometria Esempi

$y = 3 \cos (2 π x + 4 π)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 3$

$b = 2 π$

$c = - 4 π$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo di $3 \cos (2 π x + 4 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $2 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Passaggio 3.3

$2 π$ corrisponde approssimativamente a $6.2831853$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- 4 π}{2 π}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 π$ .

Sfasamento: $\frac{2 (- 2 π)}{2 π}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

Sfasamento: $\frac{2 (- 2 π)}{2 (π)}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{2 (- 2 π)}{2 π}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{- 2 π}{π}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{- 2 π}{π}$

Passaggio 4.4.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

Sfasamento: $- 2$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $1$

Sfasamento: $- 2$ ( $2$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 \cos (2 π (- 2) + 4 π)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (- 2) = 3 \cos (- 4 π + 4 π)$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- 4 π$ e $4 π$ .

$f (- 2) = 3 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 2) = 3$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{7}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{7}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (- \frac{7}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 7}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 7}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 7}{2 (2)}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 7}{2 \cdot 2}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (π (\frac{- 7}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.2

$π$ e $\frac{- 7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{π \cdot - 7}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 \cdot π}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

$4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 π + 4 π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 π + 8 π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Somma $- 7 π$ e $8 π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (- \frac{3}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (π \cdot - 3 + 4 π)$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (- 3 π + 4 π)$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $- 3 π$ e $4 π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (- \frac{5}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 5}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 5}{4}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 5}{2 (2)}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 5}{2 \cdot 2}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (π (\frac{- 5}{2}) + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.2

$π$ e $\frac{- 5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{π \cdot - 5}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 \cdot π}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + 4 π)$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

$4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 4 π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 8 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Somma $- 5 π$ e $8 π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.7

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 0$

Passaggio 6.4.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 \cos (2 π (- 1) + 4 π)$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- 1) = 3 \cos (- 2 π + 4 π)$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $- 2 π$ e $4 π$ .

$f (- 1) = 3 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- 1) = 3 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = 3$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 3 \\ - \frac{7}{4} & 0 \\ - \frac{3}{2} & - 3 \\ - \frac{5}{4} & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $1$

Sfasamento: $- 2$ ( $2$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 3 \\ - \frac{7}{4} & 0 \\ - \frac{3}{2} & - 3 \\ - \frac{5}{4} & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

Passaggio 8