Trigonometria Esempi

$y = 2 - 4 \cos (3 x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione come $- 4 \cos (3 x) + 2$ .

$- 4 \cos (3 x) + 2$

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 4$

$b = 3$

$c = 0$

$d = 2$

Passaggio 3

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $4$

Passaggio 4

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il periodo di $- 4 \cos (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.1.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 4.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2

Trova il periodo di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 4.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{3}$

Passaggio 5.3

Dividi $0$ per $3$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $4$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $2$

Passaggio 7

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 - 4 \cos (3 (0))$

Passaggio 7.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 2 - 4 \cos (0)$

Passaggio 7.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 2 - 4 \cdot 1$

Passaggio 7.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (0) = 2 - 4$

Passaggio 7.1.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 7.1.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 2 - 4 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 - 4 \cdot 0$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 + 0$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2$

Passaggio 7.2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 7.3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 \cos (π)$

Passaggio 7.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 (- \cos (0))$

Passaggio 7.3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.3.2.1.4

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 + 4$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$f (\frac{π}{3}) = 6$

Passaggio 7.3.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 7.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

$3$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 4 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 4 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 4 \cdot 0$

Passaggio 7.4.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Passaggio 7.4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 7.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 7.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4 \cos (2 π)$

Passaggio 7.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4 \cos (0)$

Passaggio 7.5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4 \cdot 1$

Passaggio 7.5.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 - 4$

Passaggio 7.5.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2$

Passaggio 7.5.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{π}{6} & 2 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{2 π}{3} & - 2 \end{array}$

Passaggio 8

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $4$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{π}{6} & 2 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{2 π}{3} & - 2 \end{array}$

Passaggio 9