Trigonometria Esempi

$y = 0.5 \sin (2 π x) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 0.5$

$b = 2 π$

$c = 0$

$d = \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $0.5$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $0.5 \sin (2 π x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $2 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Passaggio 3.1.3

$2 π$ corrisponde approssimativamente a $6.2831853$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.1.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $\frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $2 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Passaggio 3.2.3

$2 π$ corrisponde approssimativamente a $6.2831853$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 π}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{π}$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$1$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{2 π}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

Sfasamento: $\frac{2 (0)}{2 π}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

Sfasamento: $\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{0}{π}$

Passaggio 4.4

Dividi $0$ per $π$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $0.5$

Periodo: $1$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $\frac{2}{3}$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 0.5 \sin (2 π (0)) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (0) = 0.5 \sin (0 π) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$f (0) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $0.5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{4})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{4})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{2 (2)})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2 \cdot 2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (\frac{π}{2}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \cdot 1 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $0.5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

$0.5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{0.5 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{0.5 \cdot 3 + 2}{3}$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Moltiplica $0.5$ per $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1.5 + 2}{3}$

Passaggio 6.2.2.4.2

Somma $1.5$ e $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3.5}{3}$

Passaggio 6.2.2.5

Dividi $3.5$ per $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1.1\overline{6}$

Passaggio 6.2.2.6

La risposta finale è $1.1\overline{6}$ .

$1.1\overline{6}$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (π) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $0.5$ per $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{3}{4})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{3}{4})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{3}{2 (2)})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{3}{2 \cdot 2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (π (\frac{3}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.2

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 (- \sin (\frac{π}{2})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 (- 1 \cdot 1) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.6

Moltiplica $0.5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \cdot - 1 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.6.2

Moltiplica $0.5$ per $- 1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 0.5 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $- 0.5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 0.5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

$- 0.5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 0.5 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 0.5 \cdot 3 + 2}{3}$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica $- 0.5$ per $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 1.5 + 2}{3}$

Passaggio 6.4.2.4.2

Somma $- 1.5$ e $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{0.5}{3}$

Passaggio 6.4.2.5

Dividi $0.5$ per $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.1\overline{6}$

Passaggio 6.4.2.6

La risposta finale è $0.1\overline{6}$ .

$0.1\overline{6}$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 0.5 \sin (2 π (1)) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 0.5 \sin (2 π) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (1) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (1) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.4

Moltiplica $0.5$ per $0$ .

$f (1) = 0 + \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (1) = \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4} & 1.167 \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} & 0.167 \\ 1 & \frac{2}{3} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $0.5$

Periodo: $1$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $\frac{2}{3}$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4} & 1.167 \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} & 0.167 \\ 1 & \frac{2}{3} \end{array}$

Passaggio 8