Trigonometria Esempi

$y = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x + 4) + 2$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ è indefinita.

$x \leq - 4$

Passaggio 1.2

Poiché $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 4$ da sinistra e $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 4$ da destra, allora $x = - 4$ è un asintoto verticale.

$x = - 4$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 4$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = - 4$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((- 3) + 4) + 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Somma $- 3$ e $4$ .

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (1) + 2$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo in base $2$ di $1$ è $0$ .

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$f (- 3) = 0 + 2$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (- 3) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Converti $2$ in decimale.

$y = 2$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((0) + 4) + 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Somma $0$ e $4$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (4) + 2$

Passaggio 3.2.1.2

Il logaritmo in base $2$ di $4$ è $2$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

Passaggio 3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = 1 + 2$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.3

Converti $3$ in decimale.

$y = 3$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((- 2) + 4) + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Somma $- 2$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (2) + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} + 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 2) = \frac{1 + 4}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $1$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{5}{2}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{5}{2}$ in decimale.

$y = 2.5$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = - 4$ e i punti $(- 3, 2), (0, 3), (- 2, 2.5)$ .

Asintoto verticale: $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 2.5 \\ 0 & 3 \end{array}$

Passaggio 6