Trigonometria Esempi

$\sec (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per qualsiasi $y = \sec (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = \frac{π}{2} + n π$ , dove $n$ è numero intero. Utilizza il periodo di base per $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ . Imposta l'interno della funzione secante, $b x + c$ , per $y = a \sec (b x + c) + d$ uguale a $- \frac{π}{2}$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.1.2

Per scrivere $- \frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.1.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.1.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.1.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{6}$

Passaggio 1.2.1.6.3

Sottrai $2 π$ da $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{6}$

Passaggio 1.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Passaggio 1.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Passaggio 1.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica $2 (- \frac{5 π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 π}{6}$ nel numeratore.

$x = 2 \frac{- 5 π}{6}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (3)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 5 π}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 π}{3}$

Passaggio 1.3

Imposta l'interno della funzione secante $\frac{x}{2} + \frac{π}{3}$ pari a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4.1.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.4.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.4.1.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.4.1.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Passaggio 1.4.1.6.3

Sottrai $2 π$ da $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (3)}$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.4.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7 π}{3}$

Passaggio 1.5

Il periodo di base per $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ si verificherà a $(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$ , dove $- \frac{5 π}{3}$ e $\frac{7 π}{3}$ sono asintoti verticali.

$(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$

Passaggio 1.6

Trova il periodo $\frac{2 π}{| b |}$ per determinare dove sono presenti asintoti verticali. Si hanno asintoti verticali ogni mezzo periodo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 1.7

Si hanno asintoti verticali di $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ con $- \frac{5 π}{3}$ , $\frac{7 π}{3}$ e con ogni $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Passaggio 1.8

La secante ha solo asintoti verticali.

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ dove $n$ è un intero

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ dove $n$ è un intero

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \sec (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Passaggio 3

Poiché il grafico della funzione $s e c$ non ha un valore massimo o minimo, non possono esserci dei valori per l'ampiezza.

Ampiezza: nessuna

Passaggio 4

Trova il periodo di $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 4.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{3}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{π}{3} \cdot 2$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- \frac{π}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

Sfasamento: $- 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 5.4.2

$- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

Sfasamento: $\frac{- 2 π}{3}$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: nessuna

Periodo: $4 π$

Sfasamento: $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ dove $n$ è un intero

Ampiezza: nessuna

Periodo: $4 π$

Sfasamento: $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8