Trigonometria Esempi

$y = - 3 \cos (x - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 3$

$b = 1$

$c = \frac{π}{6}$

$d = 2$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $- 3 \cos (x - \frac{π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.1.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{6}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $\frac{π}{6}$ per $1$ .

Sfasamento: $\frac{π}{6}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: $2$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = - 3 \cos ((\frac{π}{6}) - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{π - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{0}{6}) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.3

Dividi $0$ per $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 \cos (0) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 6.1.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 1$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{4 π - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 (π)}{6}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.2.2.1.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0 + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cos ((\frac{7 π}{6}) - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{7 π - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 π}{6}) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 π}{6}) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cos (π) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 (- \cos (0)) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 (- 1 \cdot 1) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.6

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 3 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 6.3.2.1.6.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 + 2$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 5$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos ((\frac{5 π}{3}) - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Per scrivere $\frac{5 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{10 π - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.4.2

Sottrai $π$ da $10 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{9 π}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.4.2.1.8

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 0 + 2$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{13 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{13 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos ((\frac{13 π}{6}) - \frac{π}{6}) + 2$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{13 π - π}{6}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sottrai $π$ da $13 π$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{12 π}{6}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Scomponi $6$ da $12 π$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 (2 π)}{6}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 (2 π)}{6 (1)}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{1}) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (2 π) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cos (0) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 6.5.2.1.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 3 + 2$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (\frac{13 π}{6}) = - 1$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & - 1 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \\ \frac{7 π}{6} & 5 \\ \frac{5 π}{3} & 2 \\ \frac{13 π}{6} & - 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & - 1 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \\ \frac{7 π}{6} & 5 \\ \frac{5 π}{3} & 2 \\ \frac{13 π}{6} & - 1 \end{array}$

Passaggio 8