Trigonometria Esempi

$y = 3 \sin (\frac{π}{4} x + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 3$

$b = \frac{π}{4}$

$c = - \frac{3 π}{4}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo di $3 \sin (\frac{π x}{4} + \frac{3 π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{π}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.78539816$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{4}{π}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 4$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{3 π}{4}}{\frac{π}{4}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{π}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 π}{4}$ nel numeratore.

Sfasamento: $\frac{- 3 π}{4} \cdot \frac{4}{π}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $π$ da $- 3 π$ .

Sfasamento: $\frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{π}$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{π}$

Passaggio 4.4.4

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $- 3$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $8$

Sfasamento: $- 3$ ( $3$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = 3 \sin (\frac{π (- 3)}{4} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = 3 \sin (\frac{π (- 3) + 3 π}{4})$

Passaggio 6.1.2.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $π$ .

$f (- 3) = 3 \sin (\frac{- 3 π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Somma $- 3 π$ e $3 π$ .

$f (- 3) = 3 \sin (\frac{0}{4})$

Passaggio 6.1.2.3.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (- 3) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- 3) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.1.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- 3) = 0$

Passaggio 6.1.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{π (- 1)}{4} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{π (- 1) + 3 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{- 1 \cdot π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{- π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Somma $- π$ e $3 π$ .

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = 3$

Passaggio 6.2.2.6

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 \sin (\frac{π (1)}{4} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = 3 \sin (\frac{π (1) + 3 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (1) = 3 \sin (\frac{π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.3

Somma $π$ e $3 π$ .

$f (1) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (1) = 3 \sin (π)$

Passaggio 6.3.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (1) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (1) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.7

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 6.3.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 3 \sin (\frac{π (3)}{4} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = 3 \sin (\frac{π (3) + 3 π}{4})$

Passaggio 6.4.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (3) = 3 \sin (\frac{3 π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Somma $3 π$ e $3 π$ .

$f (3) = 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (3) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 6.4.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (3) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 6.4.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (3) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.4.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (3) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2.6

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (3) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 6.4.2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (3) = - 3$

Passaggio 6.4.2.7

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = 3 \sin (\frac{π (5)}{4} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5) = 3 \sin (\frac{π (5) + 3 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $π$ .

$f (5) = 3 \sin (\frac{5 π + 3 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Somma $5 π$ e $3 π$ .

$f (5) = 3 \sin (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (5) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (5) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5) = 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (5) = 3 \sin (2 π)$

Passaggio 6.5.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (5) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (5) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.5.2.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (5) = 0$

Passaggio 6.5.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 & 0 \\ - 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 3 & - 3 \\ 5 & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $8$

Sfasamento: $- 3$ ( $3$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 & 0 \\ - 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 3 & - 3 \\ 5 & 0 \end{array}$

Passaggio 8