Trigonometria Esempi

$y = 4 - \cos (\frac{x}{4})$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione come $- \cos (\frac{x}{4}) + 4$ .

$- \cos (\frac{x}{4}) + 4$

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = 0$

$d = 4$

Passaggio 3

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 4

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il periodo di $- \cos (\frac{x}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.1.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 4$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 π$

Passaggio 4.2

Trova il periodo di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 4$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 π$

Passaggio 4.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$8 π$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 \cdot 4$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $4$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $4$

Passaggio 7

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 - \cos (\frac{0}{4})$

Passaggio 7.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Dividi $0$ per $4$ .

$f (0) = 4 - \cos (0)$

Passaggio 7.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 4 - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = 4 - 1$

Passaggio 7.1.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 7.1.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 7.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = 4 - \cos (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (2 π) = 4 - \cos (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2 π) = 4 - \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 7.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 π) = 4 - \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 7.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 π) = 4 - \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (2 π) = 4 - 0$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (2 π) = 4 + 0$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$f (2 π) = 4$

Passaggio 7.2.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 4 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4 π$ nell'espressione.

$f (4 π) = 4 - \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (4 π) = 4 - \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 7.3.2.1.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (4 π) = 4 - \cos (π)$

Passaggio 7.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (4 π) = 4 + \cos (0)$

Passaggio 7.3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (4 π) = 4 - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (4 π) = 4 + 1$

Passaggio 7.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (4 π) = 4 + 1$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (4 π) = 5$

Passaggio 7.3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6 π$ nell'espressione.

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 7.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 7.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 7.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (6 π) = 4 - \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (6 π) = 4 - 0$

Passaggio 7.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (6 π) = 4 + 0$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$f (6 π) = 4$

Passaggio 7.4.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 8 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8 π$ nell'espressione.

$f (8 π) = 4 - \cos (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 7.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (8 π) = 4 - \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (8 π) = 4 - \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (8 π) = 4 - \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (8 π) = 4 - \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (8 π) = 4 - \cos (2 π)$

Passaggio 7.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (8 π) = 4 - \cos (0)$

Passaggio 7.5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (8 π) = 4 - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (8 π) = 4 - 1$

Passaggio 7.5.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (8 π) = 3$

Passaggio 7.5.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 7.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ 2 π & 4 \\ 4 π & 5 \\ 6 π & 4 \\ 8 π & 3 \end{array}$

Passaggio 8

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ 2 π & 4 \\ 4 π & 5 \\ 6 π & 4 \\ 8 π & 3 \end{array}$

Passaggio 9