Trigonometria Esempi

y = cos (x - \frac{π}{3})

$y = \cos (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Utilizza la forma

a cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

c = \frac{π}{3}

$c = \frac{π}{3}$

d = 0

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza

| a |

$| a |$ .

Ampiezza:

1

$1$

Passaggio 3

Trova il periodo di

cos (x - \frac{π}{3})

$\cos (x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Sfasamento:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di

c

$c$ e

b

$b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento:

\frac{\frac{π}{3}}{1}

$\frac{\frac{π}{3}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ per

1

$1$ .

Sfasamento:

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

Sfasamento:

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza:

1

$1$

Periodo:

2 π

$2 π$

Sfasamento:

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ (

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ nell'espressione.

f (\frac{π}{3}) = cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})

$f (\frac{π}{3}) = \cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

f (\frac{π}{3}) = cos (\frac{π - π}{3})

$f (\frac{π}{3}) = \cos (\frac{π - π}{3})$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai

π

$π$ da

π

$π$ .

f (\frac{π}{3}) = cos (\frac{0}{3})

$f (\frac{π}{3}) = \cos (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.1.2.3

Dividi

0

$0$ per

3

$3$ .

f (\frac{π}{3}) = cos (0)

$f (\frac{π}{3}) = \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.4

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 1

$f (\frac{π}{3}) = 1$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{5 π}{6}

$\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

f (\frac{5 π}{6}) = cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Per scrivere

- \frac{π}{3}

$- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{5 π}{6}) = cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

6

$6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{5 π}{6}) = cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica

3

$3$ per

2

$2$ .

f (\frac{5 π}{6}) = cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

f (\frac{5 π}{6}) = cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Sottrai

$2 π$ da

$5 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{6})$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di

$3$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Scomponi

$3$ da

$3 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.2.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.6

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{2})$ è

$0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Passaggio 6.2.2.7

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di

$x = \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = \cos ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{4 π - π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.3

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.3.2

Dividi

$π$ per

$1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \cos (0)$

Passaggio 6.3.2.5

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.3.2.6

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1$

Passaggio 6.3.2.7

La risposta finale è

$- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di

$x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$\frac{11 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Per scrivere

$- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Moltiplica

$\frac{π}{3}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.2.2

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Sottrai

$2 π$ da

$11 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{9 π}{6})$

Passaggio 6.4.2.5

Elimina il fattore comune di

$9$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.1

Scomponi

$3$ da

$9 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Passaggio 6.4.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.2.1

Scomponi

$3$ da

$6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Passaggio 6.4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.7

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{2})$ è

$0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0$

Passaggio 6.4.2.8

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di

$x = \frac{7 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$\frac{7 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{7 π - π}{3})$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai

$π$ da

$7 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{6 π}{3})$

Passaggio 6.5.2.3

Elimina il fattore comune di

$6$ e

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Scomponi

$3$ da

$6 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

$0$ e minore di

$2 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.5

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 1$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è

$1$ .

$1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 1 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 1 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza:

$1$

Periodo:

$2 π$

Sfasamento:

$\frac{π}{3}$ (

$\frac{π}{3}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 1 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 1 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 1 \end{array}$

Passaggio 8