Trigonometria Esempi

$y = \cos (4 x + π)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 1$

$b = 4$

$c = - π$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 3

Trova il periodo di $\cos (4 x + π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- π}{4}$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $\frac{π}{2}$

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (4 (- \frac{π}{4}) + π)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (4 (\frac{- π}{4}) + π)$

Passaggio 6.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (4 (\frac{- π}{4}) + π)$

Passaggio 6.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (- π + π)$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (4 (- \frac{π}{8}) + π)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{- π}{8}) + π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{- π}{4 (2)}) + π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{- π}{4 \cdot 2}) + π)$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (\frac{- π}{2} + π)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (- \frac{π}{2} + π)$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Somma $- π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 0$

Passaggio 6.2.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \cos (4 (0) + π)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = \cos (0 + π)$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $0$ e $π$ .

$f (0) = \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (0) = - \cos (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = - 1$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{π}{8}) + π)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{π}{4 (2)}) + π)$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}) + π)$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{8}) = 0$

Passaggio 6.4.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (4 (\frac{π}{4}) + π)$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (4 (\frac{π}{4}) + π)$

Passaggio 6.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (π + π)$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & 0 \\ 0 & - 1 \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $\frac{π}{2}$

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & 0 \\ 0 & - 1 \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Passaggio 8