Trigonometria Esempi

$4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Completa il quadrato per $4 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (4)}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{4}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $4 x^{2} + 4 x$ con $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ nell'equazione $4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1 + y^{2} = 0$

Passaggio 1.3

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 0 + 1$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$

Passaggio 1.5

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} + y^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Sottrai $1$ da $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- \frac{1}{2}, 0 + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (1))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- \frac{1}{2}, - 1)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- \frac{1}{2}, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Dividi $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 8.3.8

Sottrai $1$ da $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 8.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10