Trigonometria Esempi

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x + 16 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 y^{2} - 24 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $576$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = 0 - 36$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$e = - 36$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 y^{2} - 24 y$ con $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ nell'equazione $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36 - x^{2} - 4 x = - 16$

Passaggio 1.4

Sposta $- 36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$4 {(y - 3)}^{2} - x^{2} - 4 x = - 16 + 36$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Passaggio 1.5.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 2$ come $- - 2$ .

$d = - - 2$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$d = 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - - 4$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$e = 4$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- x^{2} - 4 x$ con $- {(x + 2)}^{2} + 4$ nell'equazione $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} + 4 = - 16 + 36$

Passaggio 1.7

Sposta $4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = - 16 + 36 - 4$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 16 + 36 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 16$ e $36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 20 - 4$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $4$ da $20$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 16$

Passaggio 1.9

Dividi per $16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 3$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Passaggio 5.3.3

Somma $4$ e $16$ .

$\sqrt{20}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, 5)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 2, 5), (- 2, 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Passaggio 8.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi $\sqrt{5}$ per $1$ .

$\sqrt{5}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{8}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Moltiplica $\frac{8}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 9.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 9.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x}{2} + 1 + 3$

Passaggio 11.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 4$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{2} - 1 + 3$

Passaggio 12.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{x}{2} + 4, y = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, 3)$

Vertici: $(- 2, 5), (- 2, 1)$

Fuochi: $(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Eccentricità: $\sqrt{5}$

Asse focale: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Asintoti: $y = \frac{x}{2} + 4$ , $y = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 15