Trigonometria Esempi

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y - 29 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $29$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $256$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 x^{2} - 16 x$ con $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ nell'equazione $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} + 54 y = 29$

Passaggio 1.4

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 54 y = 29 + 16$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} + 54 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (- 9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 (3)}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $81$ .

$e = 81$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} + 54 y$ con $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ nell'equazione $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} + 81 = 29 + 16$

Passaggio 1.7

Sposta $81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 29 + 16 - 81$

Passaggio 1.8

Semplifica $29 + 16 - 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $29$ e $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 45 - 81$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $81$ da $45$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = - 36$

Passaggio 1.9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Passaggio 1.10

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Passaggio 5.3.3

Somma $4$ e $9$ .

$\sqrt{13}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 5)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(2, 5), (2, 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 3 + \sqrt{13})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 3 - \sqrt{13})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Passaggio 8.3.3

Somma $4$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} + 3$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} + 3$

Passaggio 11.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 9}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 4$ e $9$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) + 3$

Passaggio 12.2.1.4.2

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 3$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 9}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $4$ e $9$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}, y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, 3)$

Vertici: $(2, 5), (2, 1)$

Fuochi: $(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Asse focale: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Asintoti: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Passaggio 15