Trigonometria Esempi

$y^{2} - 4 y - x + 3 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y - x + 3 = - y^{2}$

Passaggio 1.2

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x + 3 = - y^{2} + 4 y$

Passaggio 1.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - y^{2} + 4 y - 3$

Passaggio 2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$x = y^{2} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (4 y)$ come $- (4 y)$ .

$x = y^{2} - (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.6

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + 3$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Completa il quadrato per $y^{2} - 4 y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 3$

Passaggio 3.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 3.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 3 - 4$

Passaggio 3.1.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$e = - 1$

Passaggio 3.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y - 2)}^{2} - 1$ .

${(y - 2)}^{2} - 1$

Passaggio 3.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y - 2)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{3}{4}, 2)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 2$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, 2)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, 2)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . In questo caso, il punto è $(0, 3)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{1}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 4.1.3

Converti $3$ in decimale.

$= 3$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . In questo caso, il punto è $(0, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{1}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = 2 - 1$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 4.2.3

Converti $1$ in decimale.

$= 1$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . In questo caso, il punto è $(1, 3.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.2.2

La risposta finale è $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3

Converti $2 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= 3.41421356$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . In questo caso, il punto è $(1, 0.58578643)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.2

La risposta finale è $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.3

Converti $2 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= 0.58578643$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, 2)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Passaggio 6